数学分析之归结原理

归结原理又称为海涅定理，通过归结原理可以把函数极限问题转化为数列极限问题。

具体原理

极限 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$ 存在的充要条件是：对属于函数 $f(x)$ 定义域的任意数列 $\{x_n\}$ ，且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0$ ， $x_mn \ne x_0$ ，则有 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = a$。

归结原理表明了函数极限与数列极限的关系

例题（摘自《数学分析》第五版华东师范大学数学科学学院编）

设函数 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上满足方程 $f(x^2) = f(x)$，且

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = f(1) $$

证明 $f(x) \equiv f(1), \ x \in (0, +\infty)$

具体方法：

任意 $x \in (0, +\infty)$，有$f(x) = f(x^2) = \dots = f(x^{2^n})$

当 $x \gt 1$：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x^{2^n} = +\infty$，且因 $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = f(1)$，由 归结原理：

$$ f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f(x^{2^n}) = f(1) $$

当 $0 \lt x \lt 1$：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x^{2^n} = 0$ 且 $x^{2^n} \gt 0$。且因 $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(1)$，由 归结原理：

$$ f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x^{2^n}) = f(1) $$

当 $x = 1$ 时， $x^{2^n} = 1$，$f(x)$ 自然恒等于 $f(1)$。